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Title: Formación de patrones mediante el mecanismo de Turing
Authors: CHAIDEZ FELIX, JESUS MANUEL
OLMOS LICEAGA, DANIEL
Issue Date: Jan-2010
Publisher: Universidad de Sonora
Abstract: Desde hace más de 300 años hasta hoy en día se han implementado las ecuaciones diferenciales (ED) para modelar fenómenos o procesos que evolucionan en el tiempo. El alcance de las ED no tiene fronteras; dicha herramienta es y ha sido utilizada en varias áreas del conocimiento, como lo son biología, química, economía, entre otras. Con la llegada de las nuevas tecnologías computacionales se aceleró drásticamente el campo del conocimiento en dicha área, lo cual se debe a la facilidad con la que se puede estudiar un sistema dinámico complejo con el uso de un software especializado. Actualmente, las ED son muy utilizadas en investigaciones de carácter científico en varias áreas. En particular, son utilizadas en química y biología. En química comúnmente se usan para modelar reacciones químicas y estimar el tiempo que puede durar la reacción; también se usan para manipular la aceleración del estado final por medio de activadores o inhibidores. En particular, las ED son muy utilizadas en la embriología (área de la biología que se encarga de estudiar la formación y desarrollo del embrión desde la fertilización hasta el nacimiento), aplicadas en la modelación del crecimiento del embrión. El objeto de estudio de este trabajo es el modelo matemático de reacciones químicas, donde dichos químicos se encuentran en órganos. Es en este punto donde se juntan estas tres grandes ciencias; biología, matemáticas y química. En el presente trabajo hablaremos sobre el Mecanismo de Turing. Este mecanismo, es un modelo matemático que consta de un sistema de ED parciales con el cual se trata de explicar la formación de patrones en órganos de animales, partiendo de la suposición de la existencia de dos químicos llamados morfógenos. Estos morfógenos reaccionan en cada célula y se difunden entre las demás con cierto índice de difusión, provocando la aparición de patrones en el órgano. Para que esto suceda se deben de cumplir ciertas condiciones, que encontraremos en este trabajo y las aplicaremos a dos modelos. Dentro del Mecanismo de Turing el proceso de difusión juega un papel muy importante, ya que la principal idea del modelo de Turing consiste en encontrar condiciones de estabilidad para el sistema de ED sin difusión, es decir, un sistema de EDO y después bajo ciertas condiciones incluir difusión. Intuitivamente pensaríamos que al incluir difusión en el sistema, este seguiría siendo estable, es decir, se conservaría un estado totalmente homogéneo, pues normalmente el proceso de difusión tiende a estabilizar un estado heterogéneo a uno homogéneo. Sin embargo no lo es. El estado homogéneo no se conserva. EL proceso de difusión desestabiliza el punto fijo del sistema y convierte el estado final a un estado heterogéneo. Como consecuencia se obtienen patrones espacio temporales. En general, el problema consiste en Entender ¿cómo el proceso estabilizante de difusión se convierte en un desestabilizador en este caso. El principal objetivo de este trabajo es entender e implementar el Mecansimo [sic] de Turing a los modelos propuestos por Schnakenberg(1979) y Gierer y Meinhardt(1972), estudiar a fondo dichos modelos y analizar los resultados obtenidos. Así, estudiaremos cada modelo por separado, primeramente consideraremos el modelo sin difusión, es decir, trabajaremos con un sistema de ecuaciones difrenciales [sic] ordinarias (EDO). Después consideraremos el modelo completo al incluir difusión, convirtiendo el sistema EDO en uno de ED parciales. Encontraremos las condiciones necesarias y suficientes para la formación de patrones y las aplicaremos en nuestros modelos. Finalmente simularemos los modelos y analizaremos los resultados. La división del contenido es muy sencilla. En el primer capítulo veremos algunos conceptos básicos sobre la teoría de EDO, así como ejemplos. También veremos un poco de teoría sobre sistemas de ED, en donde estudiaremos algunos criterios para determinar la estabilidad lineal de un punto fijo. En el Capítulo 2, enfocaremos el uso de las ED en la modelación de la cinética de reacciones químicas. También, analizaremos el modelo matemático de tres fenómenos que se llevan acabo [sic] en las reacciones; activación, inhibición y autocátalisis. Además, incluiremos el concepto de difusión. Posteriormente, en el Capítulo 3 estudiaremos dos modelos matemáticos con dos ED, es decir, sistemas de EDO. Estudiaremos el comportamiento cualitativo de las soluciones de cada modelo sin difusión, por medio de simulaciones y también lo haremos analíticamente. Los modelos que trabajaremos son muy conocidos en el área de biología matemática; modelo de Shnakenberg y el modelo de Gierer y Meinhardt. Finalmente, en el capítulo 4 estudiaremos el Mecanismo de Turing. Encontraremos las condiciones de Turing para el caso general de un sistema de dos ED parciales. Aplicaremos dichas condiciones a los modelos propuestos y simularemos cada modelo en una y dos dimensiones. Cabe mencionar que en dos dimensiones sólo estudiaremos el caso cuando el espacio es un cuadrado. Por ultimo discutiremos los resultados obtenidos con las simulaciones y presentamos conclusiones.
Description: Tesis de licenciatura en matemáticas
URI: http://www.repositorioinstitucional.uson.mx/handle/unison/1103
ISBN: 21075
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