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Title: Productos infinitos y aplicaciones
Authors: RUBIO RIVERA, JAVIER ARMANDO
GUZMAN PARTIDA, MARTHA DOLORES
Issue Date: Jun-2019
Publisher: Universidad de Sonora
Abstract: En el primer capítulo, presentaremos algunos resultados básicos de variable compleja, enfocándonos en los que más utilizaremos durante este trabajo, principalmente la fórmula integral de Cauchy, el teorema del residuo, y el principio de identidad, junto con otras propiedades de las funciones analíticas. En el segundo capítulo, desarrollaremos la teoría de los productos infinitos aprovechando lo que sabemos para series. Primero definiendo lo que es un producto infinito y su convergencia o divergencia, luego estableciendo que clase de relación existe entre estos productos y un tipo particular de series, prosiguiendo, haremos infinitos de funciones analíticas, al igual que se tienen sumas infinitas de estas funciones en las series de Taylor, desarrollando teoría de la convergencia de estas funciones, y finalmente obteniendo el teorema de factorización de Weierstrass, el cual nos permite expresar cualquier función analítica como producto infinito de funciones analíticas más sencillas. En el tercer capítulo, aplicaremos el teorema de factorización de Weiesrstrass a tres funciones en particular: la función seno, la función Gamma, y la función Zeta de Riemann. Para la función seno, la factorizamos de la misma manera que lo hizo Euler en su tiempo. Para la función Gamma, primero la escribimos como un producto infinito usando el teorema de factorización de Weierstrass, luego encontramos algunas de sus propiedades, como ser una de las pocas extensiones analíticas de la función factorial al plano complejo, y finalmente probamos que su forma en producto coincide con la forma en integral que es más conocida. Para la función Zeta de Riemann, utilizaremos lo que sabemos de la función Gamma para establecer una relación importante entre estas funciones, que nos permite extender Zeta al plano complejo, y veremos algunos hechos básicos sobre la hipótesis de Riemann. Para finalizar, en el cuarto capítulo deduciremos la fórmula de Jensen y estudiaremos un poco de los productos de Blaschke. El primer resultado nos ayuda a calcular ciertas integrales de funciones armónicas o analíticas a partir de su valor en el origen, mientras que los productos de Blaschke son una aplicación del teorema de factorización de Weierstrass que nos ayuda a caracterizar las funciones analíticas en el disco unitario. Ambas herramientas tratan con funciones en el disco unitario, por lo que uno puede ver las como material introductorio para los espacios de Hardy.
Description: Tesis de licenciatura en matemáticas
URI: http://148.225.114.121/jspui/handle/unison/1343
ISBN: 1901863
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