Análisis de ondas para una variante de la ecuación KdV no homogénea

Abstract

La finalidad de este trabajo es el estudio sobre la existencia y comportamiento de una clase de soluciones llamadas solitón para la ecuación de tipo de KdV: ∂u/∂t + ∂ g′(u)/∂x+ ε2 ∂3u/∂x3= 0, x ∈ R1, t >0, (1) Donde u def=u(x, t),ε >0 es un parámetro y g′(u) def=∂g(u)/∂u ∈C1 es una función no lineal no necesariamente homogénea con la característica siguiente: a1u1+δ1≤g′(u) ≤ a2u5−δ2 donde δi, ai son constantes positivas. Para la ecuación (1) encontramos las condiciones suficientes que debe satisfacer la no-linealidad g′(u), bajo las cuales la ecuación (1) admite soluciones de tipo solitón. Basados en la teoría de perturbaciones encontramos una solución asintótica de tipo solitón para la ecuación (1) bajo una perturbación, considerando el parámetro ε suficientemente pequeño. También se han encontrado las condiciones suficientes que nos permiten estudiar la amplitud y cola del solitón, que describen el comportamiento de dichas soluciones bajo las perturbaciones. Se ha construido un esquema en diferencias finitas para resolver la ecuación (1) numéricamente. Además, bajo una pequeña modificación al esquema simulamos las ondas perturbadas. Realizamos varias simulaciones numéricas para diferentes tipos de no linealidades g′(u) de la ecuación (1). Un ejemplo muy importante de no linealidad es g′(u) =u3/2+u2, que aparece en la Física-Matemática en el estudio de plasma.