Formas normales y bifurcaciones de ciclos límite en sistemas lineales por pedazos discontinuos

Abstract

El estudio de ciclos límite es uno de los problemas más importantes en la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias y existen varios mecanismos para encontrarlos. Uno de ellos es cuando un segmento deslizante cambia de estabilidad, el cual se conoce ahora como la bifurcación pseudo-Hopf. En este trabajo, bajo condiciones genéricas, encontramos un desdoblamiento para tal bifurcación en sistemas lineales por pedazos discontinuos en dos dimensiones y probamos la existencia y unicidad de un ciclo límite de cruce para esta familia. En tres dimensiones mostramos la ocurrencia de tal fenómeno en un caso de estudio, aprovechando la presencia de planos invariantes los cuales funcionan de alguna forma como el análogo de la variedad central para sistemas suaves. Mas aún, aprovechando el hecho de que las formas normales de este trabajo permiten un análisis más sencillo, podemos hacer un estudio de otras bifurcaciones que son propias de los sistemas discontinuos como las bifurcaciones deslizantes. Así, podemos estudiar no solo la generación de ciclos límite mediante la bifurcación pseudo-Hopf, podemos estudiar otros mecanismos como las bifurcaciones globales.