Controlabilidad y el teorema de Brammer

Abstract

En el presente trabajo, se hace una revisión principalmente sobre controlabilidad con controles positivos. Particularmente, se presenta una demostración completa del teorema de caracterización de Brammer para sistemas lineales autónomos de la forma x = Ax+Bu En el primer capítulo, comenzamos con el espacio de polinomios K[t]. Sea A : V ---+ V un operador lineal. Existe un polinomio no nulo f E K[t] tal que f(A) = O. Más aún, existe un vector propio no nulo de A. Si >.1, ... , >-n son los n valores propios distintos de A, y la multiplicidad algebráica de cada valor propio coincide con su multiplicidad geométrica, entonces es posible encontrar una base { v1, ... , 11n} de vectores propios, con la cual la matriz asociada con el operador lineal A, es diagonal. Si la multiplicidad geométrica no coincide con la algebraica, entonces la base está formada de vectores propios generalizados. El subespacio propio V>.k, es el subespacio de V generado por los vectores propios asociados a >.k. El subespacio propio generalizado Vt, es el generado por los vectores propios generalizados asociados a >.k. Un abanico de A en V, es una sucesión de subespacios {V1 .... , Vn}, de tal forma que cada Vk e Vk+l, k = 1, ... , n- l; la dimensión de Vk es k, y cada Vk es A invariante. Una base {v1, ... , vn} es de abanico para V, si {vi, ... , vk} es base de Vk. Siempre es posible encontrar una base de abanico para V, si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números complejos. Además, la matriz asociada con el operador lineal A, es una matriz triangular superior. Consecuentemente, tenemos que si P(t) es el polinomio característico de A, entonces P(A) = O (Teorema de Cayley-Hamilton). Como consecuencia de todo lo anterior, se tiene que si es la factorización del polinomio característico, entonces ker(A - >.kl)mk = v¡k y s V=E9V¡k. k=l Donde la unión ordenada de las bases de cada sub espacio invariante Vt, es una base ordenada para V, llamada base de Jordan. Luego, con el cambio a la base de Jordan, obtenemos la forma canónica de Jordan.