Estudio de la evolución temporal de un paquete de ondas sujeto a un potencial periódico unidimensional localizado

Abstract

Como se menciona en la introducción de este trabajo de tesis, el estudio de la propagación de partículas en medios espacialmente periódicos tiene una amplia historia en la mecánica cuántica desde sus inicios, con trabajos en esta dirección como los desarrollados por P.M. Morse[1], por Davidson y Germer y por George P. Thomson [2], entre otros; dicho interés se ha mantenido, tal como lo prueban experimentos y trabajos más reciente, como los desarrollados por Martin, Oldaker, Miklich y Pritchard [4], H. P. Simanjuntak y P. Pereyra [5], Y. G. Peisakhovich y A. A. Shtygashev [6], y M. Horne, I. Jex y A. Zeilinger [7], por mencionar algunos. Así que tomando como referencia este último aspecto, decidimos abocarnos al estudio de un sistema cuántico consistente de una partícula sujeta a un potencial localizado espacialmente y que presenta una periodicidad local, similar al propuesto por M. Horne, I. Jex y A. Zeilinger [7], toda vez que si conocemos la evolución temporal del paquete de ondas correspondiente, estamos en posibilidad de calcular las diferentes cantidades físicas mediante las expresiones de los valores de expectación que correspondan. Como un primer punto en nuestro estudio, y antes de entrar en la parte medular del trabajo, consideramos adecuado hacer un breve repaso a algunas ideas básicas de la mecánica cuántica, lo cual hacemos en el capítulo 1, mientras que en el capítulo 2 fue necesario construir todo un conjunto de herramientas numéricas que nos permitiera realizar de manera adecuada, y lo más eficiente posible, la evolución temporal de nuestro sistema cuántico sujeto a un potencial arbitrario V(x). Es importante mencionar que, antes de utilizar dichas herramientas y métodos de solución de la Ecuación de Schrödinger correspondiente a nuestro sistema de interés, estas fueron puestas a prueba en el análisis de dos problemas muy estudiados en los cursos de física cuántica: la partícula libre y el oscilador armónico, lo cual fue presentado en el capítulo 3. El primero de ellos, desarrollado en la primera parte de dicho capítulo, consideró un paquete de ondas colocado inicialmente sin velocidad y posteriormente se consideró un paquete de ondas con velocidad inicial; en ambos casos los resultados obtenidos estuvieron acordes a las soluciones analíticas correspondientes. En la segunda parte de dicho capítulo se analizó la dinámica de un paquete de ondas sujeta a un potencial armónico, considerando un paquete de ondas en reposo y posteriormente con una cierta velocidad inicial, de nuevo, en ambos casos las soluciones obtenidas numéricamente estuvieron en completa concordancia con la dinámica del oscilador armónico. Página 90 Así que una vez construida, y probada de manera satisfactoria la eficiencia de nuestra herramienta numérica, procedimos a estudiar la evolución de un paquete de ondas sujeto a un potencial sinusoidal localizado en una región finita del espacio, en particular el potencial estudiado fue de la forma: xV=−[(−kxCos−π)(12)] en el que consideramos k=1.3793, y espacialmente localizado entre a=-16 y b=16. Cuando se estudió la evolución temporal del paquete de ondas sujeta al potencial sinusoidal mencionado en el párrafo anterior, pudimos advertir que las soluciones obtenidas se comportan de manera adecuada al sistema cuántico que están representando. Lo anterior nos permite afirmar que podemos usarlas para calcular los observables que deseemos; por ejemplo, en las figuras 4.7, 4.11, 4.14, 4.18, 4.21, 4.25 y 4.29 que corresponden al valor de expectación del momento podemos ver cómo se modifica, conforme el paquete de onda se aproxima y penetra en la zona del potencial sinusoidal. En la misma tónica, el valor de la energía se conserva; mientras que las gráficas de la posición corresponden al movimiento de una partícula sujeta a tal potencial periódico, que presenta un avance modulado por la intensidad del potencial. En el desarrollo de los cálculos de la evolución temporal se consideraron varios valores de velocidad inicial para el paquete de onda, encontrando que a mayor velocidad inicial la propagación a través del espacio se realizaba de manera más rápida, como era de esperarse; mientras que para los casos con menor rapidez se vio que la penetración era más lenta, además se advierte la aparición de algo que podemos considerar que corresponde a un “atrapamiento” de la partícula, ya que aparte de ir disminuyendo la amplitud de probabilidad, se nota un retroceso en el avance del valor máximo de expectación de la partícula, lo que asociamos con la probabilidad de encontrar a la partícula, conforme avanza el tiempo en una posición retrasada. El fenómeno mencionado anteriormente se presentó alrededor de los diferentes mínimos locales que presenta el potencial sinusoidal considerado, lo cual se evidenció en las figuras 4.5 y 4.9, siendo mayor dicho efecto en la figura 4.5. Lo anterior abre la posibilidad de calcular, no sólo valores de expectación de los diferentes observables, sino también el explorar las condiciones de velocidad del paquete de ondas, así como de las características del potencial que aumentan este efecto, como un mecanismo de atrapamiento cuántico de partículas.