Estructuras de banda fuera-del-plano de un cristal fotónico 2D dispersivo y difracción de luz por un cristal fotónico 1D truncado

Abstract

La difracción por una hilera finita de cilindros y las estructuras de bandas fuera-del-plano de un cristal fotónico bi-dimensional dispersivo fueron calculadas en este trabajo. De la ecuación de onda electromagnética derivada de las ecuaciones de Maxwell, y definiendo el inverso de la constante dieléctrica como una serie de Fourier y el campo magnético como una onda de Bloch, se obtienen las ecuaciones de eigenvalores para cristales fotónicos uni- y bi-dimensionales para resolver los dos problemas. En el caso de la difracción, se considera un cristal fotónico uni-dimensional truncado haciendo frontera con dos medios semi-infinitos homogéneos. Los modos del cristal infinito son calculados cuando la fracción de llenado tiende a cero con el método de expansión de ondas planas para hacer una expansión multimodal en el cristal truncado, y los campos se proponen como expansiones tipo Rayleigh-Fourier y como tipo Burckhardt-Fourier en los medios homogéneos y en el cristal truncado, respectivamente. Se aplican condiciones en las fronteras y se obtiene la matriz de difracción que se resuelve para obtener los órdenes de difracción. El vector de Poynting es usado para calcular la potencia del haz difractado. En los resultados, se presenta el esparcimiento integrado total en transmisión y reflexión por un cilindro y por una hilera de cilindros, encontrando anomalías tipo Rayleigh para diferentes ángulos de incidencia, y un comportamiento de película delgada homogénea, respectivamente. Intensidades del campo fueron mostradas en ambos casos y el haz gaussiano incidente se consideró perpendicular al eje de los cilindros. La conservación de la energía, la fórmula del cuarto de onda de películas delgadas y la sección transversal de un cilindro cuadrado fueron consideradas para la validación de los resultados. Para el segundo problema, se resuelve la ecuación de eigenvalores para cristales fotónicos bi-dimensionales con propagación fuera-del-plano con un algoritmo numérico en conjunto con el método de expansión de ondas planas. El método iterativo para cristales fotónicos dispersivos fue el algoritmo usado y la constante dieléctrica fue modelada con una fórmula matemática. Los resultados fueron obtenidos para una red cuadrada de cilindros de sección transversal circular de óxido de magnesio dispersivo en vacío a partir de los puntos de alta simetría Γ y X. Se encontró que para las frecuencias más bajas los modos se doblan drásticamente al horizonte cuando la constante dieléctrica alcanza un valor positivo muy alto. Para las frecuencias arriba de la frecuencia circular fonónica óptica longitudinal donde la constante dieléctrica tiene valores positivos muy bajos, ocurre una degeneración de modos en la ventana de transparencia y algunos modos se comportan cercanos a la línea de luz. Para la validación de estos resultados, estructuras de bandas fuera-del-plano sin dispersión y en-el-plano con dispersión fueron reproducidas de publicaciones previas con buen acuerdo.