Algoritmos para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz no singular

Abstract

En este trabajo de tesis se presenta una modificación novedosa al método simplificado de Newton que elimina su inestabilidad numérica para el cálculo de la raíz cuadrada principal de una matriz no singular. El algoritmo que se obtiene es atractivo por ser computacionalmente sencillo de implementar, robusto, computacionalmente económico, convergente, y para propósitos prácticos, numéricamente estable. En el primer capítulo de esta tesis se tratan temas relacionados con el álgebra matricial como: operaciones elementales entre matrices, tipos de matrices, la inversa de una matriz, transpuesta de una matriz, determinante de una matriz y valores propios de una matriz. En el segundo capítulo se tratan temas relacionados con la raíz cuadrada de una matriz cuadrada no singular, existencia de la raíz cuadrada de una matriz, la representación canónica de Jordán de una matriz, y el número de raíces cuadradas de una matriz. En el tercer capítulo se analizan las variantes más actuales y relevantes del Método de Newton (MN) para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz cuadrada no singular y se presenta una modificación obteniendo el Método Simplificado de Newton (MSN) del cual se estudia su convergencia y estabilidad numérica. En el cuarto capítulo se presentan algunos algoritmos para el cálculo de la raíz cuadrada principal de una matriz no singular, como es el (LASMN) (Iteración alternativa simplificada del Método de Newton), y el (MSNFSRC) (Método Simplificado de Newton con factorizaciones sucesivas para el cálculo de la raíz cuadrada), y se analiza de su convergencia y estabilidad numérica, además se propone el Método Simplificado de Newton Acoplado para el cálculo de la raíz cuadrada principal de una matriz no singular (MSNARC) y se hace un análisis de su convergencia y estabilidad numérica, este algoritmo es atractivo por ser computacionalmente sencillo de implementar, robusto, económico, convergente y numéricamente estable para cualquier matriz no singular. Por último, en el quinto capítulo se presentan una serie de experimentos numéricos donde se compara el desempeño del (MSNARC) con respecto a los métodos tratados.