Algebraic and geometric aspects of the averaging methods on S1-Spaces

Abstract

Este trabajo aborda varios aspectos algebraicos y geométricos del método global de promedios para sistemas dinámicos en S1-variedades. Por S1-variedades, entendemos una variedad diferencial en la que actúa el grupo S1. Se presenta un enfoque libre de coordenadas para estudiar una amplia variedad de sistemas dinámicos perturbados, en el contexto del método de la transformada de Lie y en la teoría de formas normales, cuya característica principal es que la parte no perturbada es invariante con respecto a una acción de S1. Las investigaciones que se desarrollan en esta tesis se centran alrededor de las siguientes líneas: (i) un enfoque algebraico de la ecuación homológica generalizada; (ii) formas normales globales y el teorema geométrico de promedios; (iii) el método de promedios en espacios fase con variables lentas y rápidas. Una de las aportaciones de este trabajo está relacionada con la construcción de soluciones globales de la ecuación homológica tensorial asociada con flujos periódicos y que generaliza un resultado de Cushman para el caso de campos tensoriales antisimétricos, covariantes y contravariantes, de cualquier orden. Estos resultados son aplicados al problema de normalización de campos vectoriales (no necesariamente Hamiltonianos) con flujo periódico. Más aún, se formula y se demuestra una versión Riemanniana y las propiedades de la operación de levantamiento horizontal en un S1-haz principal. Otra contribución de esta tesis consiste en presentar un enfoque geométrico de normalización de la dinámica Hamiltoniana perturbada en espacios con variables lentas y rápidas. Tales espacios aparecen en la teoría de aproximaciones adiabáticas y en sus generalizaciones. La principal característica de estos espacios es que se descomponen como el producto de un factor con variables lentas y otro factor con variables rápidas; lo cual se encuentra en correspondencia con la dependencia singular que tiene la forma simpléctica (corchete de Poisson) del parámetro de perturbación. Como consecuencia de esto, el sistema no-perturbado no hereda una estructura Hamiltoniana natural y por tanto no es posible aplicarle directamente la teoría regular de perturbaciones para sistemas Hamiltonianos. Sin embargo, asumiendo ciertas hipótesis de simetría para la dinámica no perturbada, se derivan varios resultados de normalización basados en una versión paramétrica del método de homotopía de Moser y la técnica de promedios para formas (pre)simplécticas y conexiones no lineales en espacios fibrados, la cual se debe a Marsden, Montgomery y Ratiu. Finalmente, en esta disertación se presentan algunos ejemplos, que tienen relación con problemas de Físca-Matemática, en los cuales se ilustran las principales técnicas y resultados que son el fundamento de esta tesis.