Problema de Lambert extendido a órbitas perturbadas - aplicación a problema de tiro al blanco

Abstract

En este trabajo se resuelve un problema de tiro al blanco el cual consiste en determinar una de las posibles trayectorias que un misil puede tener para interceptar un meteorito en un lugar lo suficientemente alejado de la superficie para que esta acción sea segura. Para resolver el problema se realizaron cuatro simulaciones en lenguaje Python. En cada una de ellas, el número de cifras significativas con que se trabajó fue 8 y los tamaños de paso de la variable tiempo, usados en los tres algoritmos para obtener órbitas, fue de centésimas de segundo. La primera trata el escenario en que el meteorito no es detenido y logra impactar sobre la superficie de la tierra, para realizar los cálculos se asume que la única fuerza ejercida sobre éste es la gravitacional y se desprecian fuerzas perturbativas tales como el rozamiento atmosférico, la presión de radiación o la componente latitudinal del campo gravitatorio debida al achatamiento terrestre. Con base en las condiciones iniciales usadas en esta simulación se obtiene que el tiempo de vuelo del meteorito antes del impacto es de ∼ 20 minutos y el punto de impacto es la Casa Blanca en Washington D.C. En la segunda simulación se trabaja el problema de persecución misil-meteorito no perturbado, es decir, tal como en el caso anterior el campo gravitatorio terrestre es de tipo campo central, y, en consecuencia, las órbitas son keplerianas. En esta simulación el algoritmo que resuelve el problema de Lambert tuvo un tiempo de computo de 7.3177 milisegundos. La maniobra impulsiva produjo un incremento del 80.9% en la rapidez del misil al momento del redireccionamiento y la pérdida de masa asociada fue del 31.7 %, obteniendo así un error de 1.05 metros entre los centros de masa de ambos proyectiles al momento del encuentro. La tercera simulación es similar a la primera, solo que ahora si se considera la forma oblata de la tierra, lo que resulta en un término extra en la expresión del campo gravitatorio dependiente de la latitud. Al hacer los cálculos con condiciones iniciales distintas a las del caso 1 se encuentra que nuevamente el punto de impacto es la Casa Blanca y el tiempo de vuelo es de 20 minutos. En la última simulación se extiende el problema visto en la simulación 2, pero teniendo en cuenta la perturbación gravitacional por el achatamiento terrestre. En esta parte se usa el algoritmo ASR para resolver el problema de Lambert perturbado. El algoritmo ASR es un algoritmo iterativo que genera condiciones iniciales de posición y velocidad basadas en números aleatorios; este algoritmo está diseñado para disminuir el error en el punto de encuentro de ambos proyectiles conforme transcurren las iteraciones y detenerse al satisfacer la tolerancia definida por el usuario. El tiempo de cómputo empleado por el algoritmo fue de 16 horas y 59 minutos, en los cuales éste logró reducir el error en el punto de encuentro de los proyectiles, de 707 metros a 3.5 metros. La maniobra impulsiva incrementó la rapidez del misil en un 81.2% y la pérdida de masa asociada fue al igual que en el caso anterior del 31.7%.