Estabilización de sistemas lineales con control escalar restringido

Abstract

Durante el desarrollo de trabajo en la presente tesis se logra resaltar los siguiente resultados: En el capítulo 1 se establece que si el sistema lineal x = Ax + bu es controlable con controles positivos, entonces puede ser globalmente estabilizado mediante una sencilla función de realimentación no-negativa y Lipchitz en la siguiente forma: a) Si x = Ax es inestable, entonces, la realimentación u(x) E U = [0, oo) (descrita en el capítulo 1) b) Si x= Ax es Lyapu nov-estable, entonces la realimentación u(x) E U = [0, r] resuelve el problema de estabilización global. En el capítulo 2 se estudia el sistema lineal: i; = Ax+ blt , dado que tal sistema no cuenta con la hipótesis de controlabilidad hacemos uso de la teoría de modos deslizantes para estabilizar. Se introdujeron las ideas y los conceptos matemáticos básicos para entender el control por modos deslizantes, destacándose sus atractivas características de robustez y la posibilidad de ser aplicados en forma relativamente sencilla a sistemas lineales. Tras una breve introducción se estudian las ideas de funcionamiento y los inconvenientes al buscar soluciones empleando métodos tradicionales de análisis de sistemas, Para ello se describen el método del control equivalente, relacionado con el movimiento deslizante ideal. Luego, se establecieron condiciones necesarias y suficientes para la existencia de régimen deslizante sobre la superficie Lx - s = 0. Motivando el estudio de la teoría desarrollada en el capítulo 2, en el capítulo 3 se presentan algunas aplicaciones, en cada una de ellas se logra la estabilización por modos deslizantes. En la primera sección se presenta el caso de mezclas con dos tanques, en esta aplicación se obtuvieron resultados interesantes como el de la figura (3.3). Aunque desafortunadamente no existe un resultado que nos garantice esto, se presenta al final de cada aplicación una simulación (en simnon) mostrando la ganancia de aplicar el método del control equivalente Ueq · En la sección 2 se desarrolla el problema de un caso de mezclas con tres tanques, se hace un estudio minucioso sobre las entradas del vector L de tal forma que los valores propios de la matriz Aeq se más negativos que los de A, una vez definida L tenemos el control discontinuo u(x) = {eqr2 0, si L x > k , si L x = k, si L x <: k Este control nos garantiza deslizamiento sobre el hiperplano Lx - k = 0, es decir, al aplicar este al flujo de entrada f1 se segura una mayor rapidez para llegar al punto de equilibrio, de modo que, para condiciones iniciales dadas para las soluciones, se puede estabilizar las concentraciones en los tanques en menor tiempo a diferencia de utilizar una constante en el flujo, es decir, logramos una convergencia más rápida del punto de equilibrio x. Generalizando el estudio del problema de mezclas en la sección 3 se presenta un caso general a esta aplicación. Dado que en cada sección se hizo un estudio amplio para elegir L , se podría considerar como hipótesis que la mejor elección es tomar L = (1. ..., 1), al menos para el problema de los tanques. En la sección 4 se presenta la estabilización de la insulina en el modelo de Sorensen.