El problema de dos centros fijos

Abstract

En este trabajo se presenta el problema bidimensional de los dos centros fijos, se deducen y simplifican las ecuaciones de movimiento, se exhiben dos integrales primeras, que junto con el teorema de Hamilton Jacobi garantizan la separabilidad, es decir, que este problema sea integrable. Además, dado que las órbitas que colisionan o chocan con algún centro fijo, o pasan cerca de uno ellos, son sensibles de seguir numéricamente en sus coordenadas originales, se introduce una transformación llamada Regularización de Birkhoff que evita este problema. Esta regularización se aplica a las ecuaciones y a las regiones donde el movimiento tiene lugar, llamadas regiones de Hill. A fin de poder obtener soluciones exactas se estudian las condiciones necesarias y suficientes para la separabilidad y se dan las integrales de las ecuaciones de movimiento. Se introducen las coordenadas elípticas y se muestra como se separa el Hamiltoniano en estas coordenadas. Se comprueba que el uso de las coordenadas elípticas resulta adecuado para describir las restricciones que llegan a tener las órbitas que describe la masa en movimiento, estableciendo regiones en las cuales se dan diferentes formas de las órbitas. Sin embargo, esta versión de coordenadas elípticas es adecuadas si nos quedamos restringimos a algún cuadrante del plano, de no ser así, requieren de consideraciones de signo cada vez que se pase a otro cuadrante. Para evitarlos e introducen las coordenadas elípticas polares y en ellas se describe el Hamiltoniano del problema. Incluso se eliminan las singularidades utilizando el truco de Poincaré. Se da un ejemplo de la expresión para métrica de una solución exacta, la cual requiere de funciones elípticas de Jacobi (seno y coseno elípticos). Se utiliza la herramienta anterior y se implementa en Mathematica para generar una trayectoria de cada región, mostrándose los respectivos gráficos y en su caso haciendo evidente las restricciones del movimiento. Después de lo anterior la atención se centra en órbitas periódicas simétricas, para lo cual se estudian las simetrías del problema y se muestra el concepto de líneas de simetría, el cual será útil para localizar visualmente condiciones iniciales de órbitas periódicas. Luego se muestra el método de continuación analítica y su relación con constantes de movimiento. También se muestra que las órbitas Keplerianas no se pueden continuar. Se desarrolla un método numérico de dos fases para realizar la continuación analítica respecto a la masa, el cual se clasifica como Newton de varias variables. Se presentan los resultados numéricos respecto a mapas de Poincaré del problema, en el plano original y en el plano regularizado, así la visualización de la condición inicial de órbitas periódicas a partir de la intersección de líneas de simetría. En seguida se muestra la continuación de la órbita en forma de ocho y la continuación de la órbita del carnero. Por último se presentan las conclusiones y dos apéndices , uno de Formas Diferenciales y otro de Transformaciones Canónicas y Funciones Generadoras.