Control de oscilaciones en sistemas no lineales alrededor de puntos de equilibrio no hiperbólicos

Abstract

La teoría de los sistemas dinámicos no lineales juega un papel muy importante en casi todas las áreas de la ciencia y la ingeniería, ya que los modelos matemáticos de los fenómenos del mundo real son de hecho no lineales. La teoría de la dinámica es particularmente útil en el estudio de comportamientos complejos tales como la inestabilidad, la bifurcación y el caos, los cuales son encontrados en mecánica, aeronáutica, circuitos eléctricos, sistemas controlables, problemas poblacionales, economía, sistemas financieros, acciones de mercado, sistemas ecológicos, etc. En general, el análisis del comportamiento de las soluciones de sistemas no lineales puede ser dividido en dos categorías principales: análisis local y análisis global. Por ejemplo, comportamientos post-critico tales como la bifurcación silla- nodo y la bifurcación de Hopf pueden ser estudiadas localmente en una vecindad del punto crítico, mientras que ´orbitas heteroclínicas y homoclínicas, y caos son esencialmente comportamientos globales y lógicamente tienen que ser estudiados globalmente. Las dos categorías mencionadas necesitan ser tratadas con diferentes teorías y metodologías. Para el análisis dinámico local (el que nos ocupa en nuestro caso), usualmente el primer paso es para simplificar un sistema dado tanto como sea posible, mientras se mantenga sin cambio el comportamiento cualitativo del sistema dinámico. Existen diversas y excelentes metodologías muy estudiadas ya para sistemas dinámicos, como son la teoría de la variedad central, la teoría de las formas normales, el método de promedios, escalas de tiempo múltiple, reducción de Lyapunov-Schmidt, el método de sucesión de funciones, la técnica de balanceo harmónico intrínseco, etc. Esos métodos pueden ser usados para obtener ecuaciones “simplificadas” en una vecindad del punto de interés. El sistema “simplificado” es topológicamente equivalente al sistema original, y entonces el comportamiento dinámico del sistema original puede ser estudiado en el sistema “simplificado”, haciendo el análisis mucho más fácil. Usualmente, la teoría de formas normales (por ejemplo, ver [9], [10], [11]) es aplicada junto con la teoría de la variedad central [6], la cual es aplicada primero para reducir el sistema a una variedad central de menor dimensión. Entonces se emplea el método de formas normales para obtener una simplificación adicional para el sistema. Sin embargo, existen aproximaciones que combinan las dos teorías en un procedimiento unificado (ver [3], [18]- [22]). En general, una forma normal no se define de manera única y calcular la fórmula explicita de una forma normal en términos de los coeficientes del sistema original no es fácil, por lo que, desde hace algunos años, el cálculo simbólico de formas normales usando software computacional como Maple, Mathematica, etc., ha recibido una considerable atención. En las dos décadas pasadas se dio un creciente interés en lo que respecta al estudio de bifurcaciones de sistemas controlables, incluyendo controles o anticontroles de bifurcaciones y caos, y existe una vasta variedad de aplicaciones potenciales del control de bifurcaciones y caos. En general, el objetivo en el control de bifurcaciones es diseñar un controlador tal que las características de bifurcación de un sistema no lineal experimente una bifurcación que pueda ser modificada para lograr algún comportamiento dinámico deseable. Platicaremos con más detalle esto último más adelante.