Teoremas de extensión armónica para funciones y distribuciones

Abstract

Un problema clásico en matemática el cual involucra funciones armónicas es el bien conocido problema de Dirichlet. Se trata de un problema fundamental de valores en la frontera para el Laplaciano, el cual surge con frecuencia en física y matemáticas: Dado un dominio СRn y una función fdefinido en su frontera , determinar si existe una función u continua en  tal que u sea armónica en  y u=f en . Si tal función existe, determinar si es única. Al parecer fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien planteó por vez primera este problema en 1840, sin embargo, se dio en llamar a éste “el problema de Dirichlet” en honor al matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien a mediados del siglo XIX propuso una solución por medio de un método variacional conocido hoy como el principio de Dirichlet. Su “argumento físico” de la existencia de una solución única resulta plausible: cualquier distribución de carga sobre la frontera debe, por las leyes de la electrostática, determinar un potencial eléctrico como solución. Sin embargo, K. Weierstrass (1815-1897) encontró un error en su argumento y no fue sino hasta 1900 que se publicó una prueba de la existencia de una solución depende delicadamente de la suavidad de la frontera y de la función prescrita f. El problema de Dirichlet ha atraído la atención de muchos de los grandes estudiosos del análisis matemático y ha motivado gran parte del desarrollo de la teoría de funciones armónicas. El propio problema ha evolucionado y ha adquirido nuevas formas de modo que se conocen muchas variantes del mismo. Es por eso que nos referimos al enunciado que presentamos arriba como “el problema de Dirichlet”.