Categorías de demostración enmarcadas en la teoría de Van Hiele con principios constructivistas. El estudio de las isometrías en el plano

Abstract

La disciplina matemática actual es poseedora de una estructura única, construida en torno a métodos específicos de razonamiento que privilegian la naturaleza “ideal” de los objetos con los que trabaja, sin que tal característica sea del conocimiento del resto de los usuarios de la disciplina. La intención de dicha disposición es el fruto de siglos de cambios y reorganizaciones del conocimiento matemático, con la finalidad de crear una ciencia ordenada, estable y sobre todo confiable (primeramente, dentro de la comunidad de matemáticos y posteriormente fuera de ella). La demostración de las distintas afirmaciones en la ciencia matemática es parte vital en el desarrollo estructural antes mencionado, al ser la precursora del vínculo intrínseco de las Matemáticas y la Lógica. Cuando hablamos de “Demostración”, en la comunidad Matemática resulta natural el asociarlo con la formalidad y rigor propio de la disciplina actual, es por ello conveniente aclarar dos elementos relevantes: El primero es que la demostración en cada área científica varía según la ontología1 de los objetos en los que se sustenta y los objetivos que persigue. El segundo punto a clarificar, y aún más relevante por las pretensiones del trabajo, es que los inicios de las matemáticas no se escaparon de la ingenuidad que sustentaba las bases del conocimiento de las sociedades antiguas. Los primeros 3000 años de la disciplina se caracterizaron por un motor basado en intereses pragmáticos, útiles en las problemáticas de medida y áreas, donde el uso de dichos conocimientos se respaldaba en los resultados coherentes y estables que arrojaba, marginando el porqué de los mismos. En lo concerniente a las distintas formas de probar2, es necesario hacer una distinción entre las ciencias fácticas y formales; las primeras tienen como objetivo el buscar la coherencia de los hechos con una explicación plausible de los mismos (entre sus principales exponentes están: la Física, Biología, Química, etc.), encargándose de generar teorías para comprender el universo que habitamos a partir de los hechos (cosas que se perciben con los sentidos, directa o indirectamente). Las ciencias formales (Matemáticas, Lógica y otras), en cambio, se interesan por las formas de razonamiento y no solamente el contenido de los saberes, es por ello que el ideal metodológico se basa en un sistema axiomático formado por premisas (llamados axiomas dentro de la matemática), reglas de formación, reglas de transformación (de inferencia, en el caso particular de las Matemáticas y la Lógica) y teoremas. La estructura y el alcance de cada sistema axiomático están determinados por sus axiomas. El segundo punto a clarificar es el inicio y transición de la demostración en matemáticas, con la firme convicción de obtener una congruencia entre los cambios en las pruebas aceptadas por la comunidad Matemática y las formas de argumentar utilizadas por los estudiantes, mientras avanzan en su formación escolar. La relación entre la evolución disciplinar y los argumentos en el salón de clases, se convierten en el motor del presente trabajo; incorporando el apoyo de distintas investigaciones de Matemática Educativa como facilitadores de la tarea asumida.