Resonancia magnética: un enfoque analítico y numérico

Abstract

Usualmente en la mecánica definimos vibraciones libres cuando un sistema vibratorio está ligeramente desplazado del punto de equilibrio y el sistema vibra solo. Pero es posible que una fuerza externa pueda poner al sistema vibratorio a oscilar. La frecuencia de esta oscilación es determinada por la frecuencia de la fuerza externa y entre más cerca esté la frecuencia de la fuerza externa a la frecuencia natural (libre), ésta se vuelve más fuerte y por lo tanto, más energética. Esto se conoce como resonancia, cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural del sistema. Esto sucede en muchos sistemas vibratorios tanto en la mecánica clásica como en la cuántica. La resonancia magnética es un fenómeno encontrado en sistemas magnéticos que poseen tanto momento magnético como momento angular. Como veremos, el término resonancia implica que estamos en contacto con una frecuencia natural del sistema magnético; en este caso corresponde a la frecuencia de precesión geomagnética del momento magnético en un campo externo. El fenómeno de resonancia magnética se presenta cuando hay emisión o absorción de radiación electromagnética por los electrones o por el núcleo del átomo (nuclear) en presencia de un campo magnético. En este fenómeno es posible observar que el espín y el momento magnético se alinean con el campo magnético. El sistema físico que se estudia en esta tesis trata del fenómeno de resonancia magnética nuclear y es de aplicación muy amplia en la imagenología aplicada tanto a la investigación científica como al diagnóstico médico en enfermedades y traumatismos de diverso tipo. Estos van desde métodos para localización de tumores malignos o benignos, hasta el estudio de músculos y tendones en deportistas de alto rendimiento, y también, es de utilidad en el estudio de restos humanos tan antiguos como los cuerpos momificados de la civilización egipcia. La ventaja del método de resonancia es que nos permite seleccionar de la susceptibilidad magnética, una contribución particular de interés relativamente débil. Este fenómeno es posible tratarlo de forma analítica, pero usualmente se vuelve algo complejo, por lo que es bueno usar métodos numéricos para la resolución del problema. Resolviendo estas ecuaciones numéricamente, soluciones complicadas pueden ser más fáciles de manejar e incluso visualizarlas en una gráfica. También es posible usar métodos perturbativos para obtener una solución aproximada de una forma mas sencilla que resolver directamente la ecuación de Schrödinger. Los métodos de aproximación al método analítico, como la teoría de perturbaciones, reducen la complejidad de la solución y nos permiten pasar esa información sobre la transición de estados (frecuencias de emisión o absorción). Mediante estas técnicas, es posible apreciar cómo se comporta el momento magnético en presencia del campo magnético, y cómo cambian las probabilidades de transición entre dos niveles, así como también permiten describir la dirección del momento angular (espín) en dicha transición y entender cómo la frecuencia del campo magnético influye en la resonancia magnética.