Integración numérica por el método de Monte Carlo

Abstract

Conforme se ha ido generalizando el uso de las computadoras, poderosos programas de integración simbólica se han ido complementando con el análisis numérico para resolver problemas que involucran el cálculo de miles de integrales, problemas de integración múltiple, diferenciación, ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis de errores de redondeo y muchos otros. En el caso de la aproximación a la solución de integrales múltiples (que es el de mayor importancia) generalmente se utilizan los llamados métodos de cuadratura, sin embargo éstos, además de volverse sumamente difíciles de manipular, tienen el problema de que conforme la dimensión del espacio de integración crece drásticamente, como es el caso de la regla del trapecio. El método de Monte Carlo, desarrollado en los 40’s, nos ofrece una manera menos complicada de obtener la aproximación a la integral y la posibilidad de acabar con el inconveniente de la dimensionalidad en la cota para el error. El método consiste básicamente en los siguiente: representar la solución analítica del problema con un parámetro de cierta población hipotética, el cual en la mayoría de los casos es el valor esperado de la distribución que describe a la población. Posteriormente a partir de una muestra de la población estimamos dicho parámetro, la cual será representada por una sucesión de números aleatorios. El principal motivo que nos lleva al desarrollo del presente trabajo se basa en que el método de Monte Carlos presenta facilidad y eficiencia en la solución de integrales múltiples, y el hecho de que en la literatura existente, por lo regular solo se desarrolla para integrales sencillas, que es el caso (al menos en términos de la expresión por error), en que los métodos tradicionales lo superan.