Sobre las superficies de Riemann hiperelípticas

Abstract

Dada una superficie de Riemann compacta M, siempre se puede encontrar un isomorfismo con una curva proyectiva. Si denotamos por g al género de M, podemos dividir en varios casos. Si g=0, la superficie de Riemann es isomorfa al espacio proyectivo de dimensión 1. Si g=1, se trata de las superficies de Riemann elípticas y éste es todo un campo de gran interés matemático en si mismo. Así, pues, consideramos que g=2. La manera de realizar una superficie de Riemann compacta M como una curva proyectiva es vía las secciones de un haz lineal holomorfo (siempre y cuando el haz tenga “suficientes” secciones). El primer candidato será, pues, el haz de las l-formas holomorfas, el cual nos da un isomorfismo excepto en un caso especial, que es de las superficies hiperelípticas. Como primer objetivo estudiaremos estas superficies, estudio que desemboca en el teorema de Clifford, que no solo da información sobre las hiperelípticas sino que nos indica que la realización de una superficie de Riemann compacta como curva proyectiva tiene severas limitaciones en la dimensión de espacio proyectivo donde se encuentra con respecto a su grado como variedad proyectiva. Volviendo al morfismo canónico de una superficie de Riemann compacta general (esto es, la supondremos no hiperelíptica) nos interesa describir la curva imagen como variedad proyectiva. El teorema de Noether nos dice que toda la información proyectiva de la curva canónica está en las potencias del haz de la l-formas en M y finalmente el teorema de Petri nos describe específicamente a la curva canónica como intersección de las hipersuperficies cuádricas que la contienen. Esto es, la curva canónica se puede describir usando las l-formas holomorfas cuadráticas en M que tienen dimensión 3g-3.