Una demostración probabilistica del teorema RADOM-NIKODYM

Abstract

El teorema de Radon-Nikodym juega un papel fundamental en la teoría moderna de probabilidad; un papel que le asignó Kolmogorov en su histórico libro “Foundations of the Theory of Probability” (7) *. El teorema tal y como lo uso Kolmogorov permite definir la esperanza condicional en su forma más general; sin embargo, la definición de puramente descriptiva y no es claro el enlace que existe entre la definición de esperanza condicional en el caso elemental, donde se tiene una definición constructiva, y el caso general, donde la esperanza condicional es una derivada de Radon-Nikodym. Este “punto obscuro” se debe principalmente al hecho de utilizar el teorema como resultado ajeno a la teoría de probabilidad. Con el fin de esclarecer el enlace entre la definición constructiva y la definición descriptiva, daremos una versión probabilística del teorema de Radon-Nikodym, obteniendo así una definición constructiva de la esperanza condicional en su forma más general. En el capítulo I damos una demostración del teorema de Randon-Nikodym (su versión en teoría de la medida) y desarrollamos el concepto de “condicionalidad” hasta llegar a la definición de esperanza condicional en su forma más general. En el capítulo II, con el fin de mostrar el teorema de Radon-Nikodym no es necesario para definir esperanza condicional, obtenemos la definición siguiendo un camino distinto, utilizando el teorema de representación de Riesz y demostrando la equivalencia entre las definiciones obtenidas. En el capítulo III damos la versión probabilística del teorema Radon-Nikodym y algunos ejemplos ilustrativos. (*) Los números (1), (2), … se refieren a las referencias bibliográficas.