Sistemas tipo Lorenz

Abstract

El modelo dominante y casi exclusivo en las ciencias desde su surgimiento en el siglo XVII ha sido el modelo determinista según el cual: "Un proceso se dice determinista si todo su futuro y pasado están unívocamente determinados por su estado en el momento presente". en palabras del matemático ruso, pionero de las ciencias del caos, V. Arnold. El determinismo puede ser subvertido de dos maneras: una, por el azar, es decir, la indeterminación de un estado en relación con los que le han precedido y los que le sucederán; y otra por el caos, es decir el hecho de que a pesar de que un estado esté determinado no pueda ser objeto de predicción por lo que se podría denominar "la sensibilidad a las condiciones iniciales". El azar se opone al determinismo por el hecho de que mientras que la información completa acerca de un sistema determinista se reduce a la serie de ecuaciones que definen su evolución y una serie de condiciones iniciales (valores de sus variables de estado en un momento temporal determinado), un proceso aleatorio no admite tal compresión de la información en una ley general, y la única posibilidad de describirlo es describir todos sus estados o, como mucho, intentar ajustar dichos estados mediante una ley estadística. Por su parte los sistemas caóticos, aunque sean deterministas no permiten la predicción porque trayectorias que surgen juntas divergen rápidamente borrando el recuerdo de dicho inicio común. En estos casos se separa el determinismo de las ecuaciones que expresa la necesidad de las matemáticas y la predictibilidad que es algo físico dependiente de las limitaciones asociadas con nuestra finitud humana. En los sistemas caóticos pequeñas diferencias iniciales se amplifican con el tiempo y dan lugar a diferencias macroscópicas. En la naturaleza ciertos fenómenos pueden ser modelados por unas estructuras matemáticas que se denominan sistemas dinámicos y cuyo estado viene definido por una serie de variables que dependen del tiempo (variables de estado) y por una serie de leyes, una dinámica, que expresan las variaciones de las variables de estado a lo largo del tiempo, y que en los casos más sencillos suelen ser un sistema de ecuaciones diferenciales. La representación de los sistemas dinámicos se lleva a cabo en un espacio denominado espacio de fases en el que cada punto define un estado y cada trayectoria una evolución del sistema. Los sistemas dinámicos son conservativos o disipativos según se conserve o no el volumen en el espacio de fases formado por una serie de puntos que evolucionan al mismo tiempo. Los sistemas disipativos suelen contar con atractores que son zonas del espacio de fases que "atraen" las trayectorias que pasan por sus proximidades, contrayendo las áreas en el espacio de fases y haciendo converger las trayectorias, de forma que dichos atractores representan el comportamiento asintótico del sistema, es decir, cómo se comporta éste a largo plazo. Los atractores clásicos son: a) un punto fijo, que señala un estado de equilibrio final del sistema; b) una órbita periódica que señala que la configuración del sistema evoluciona de forma periódica repitiendo sus estados; c) una órbita cuasi-periódica, que da lugar a un toro en el espacio de fases; d) un atractor extraño, atractores muy complejos cuya sensibilidad a las condiciones ini-ciales impide la predictibilidad a pesar del determinismo riguroso debido a que las trayectorias próximas divergen rápidamente, cuya no periodicidad impide que las curvas se cierren sobre sí mimas y por tanto hace que no se pueda predecir pero si da información sobre el estado inicial, lo que hace que se puedan distinguir situaciones que en el origen casi se confundían, y cuya fractalidad exhibe una invariancia a través de distintas escalas. Los atractores extraños son el producto de auto-oscilaciones (perturbaciones que no desaparecen, sino que se mantienen una vez aparecidas en sistemas no lineales mediante un mecanismo de retroalimentación) que dan lugar a inestabilidades locales producto de las condiciones de mezcla en que se encuentran los sistemas que presentan dichos atractores. Un conjunto fractal es un conjunto "muy raro" cuya dimensión es intermedia entre una línea y una superficie o entre una superficie y un volumen. Son volúmenes casi huecos, líneas enmarañadas que casi cubren el conjunto del plano, pero sin hacerlo del todo o conjunto de puntos, "polvos", productos de la explosión de la recta. Fractales son las curvas que represen tan una costa en un plano o la representación geométrica tridimensional de un copo de nieve. Estas extrañas figuras geométricas gozan de una peculiar invariancia a través de las escalas que hace que cada fragmento del fractal sea semejante (autosemejante) a cualquier fragmento más grande e incluso al fractal en su conjunto. La citada autosemejanza es una consecuencia de que el fractal es el resultado de una aplicación continua que pliega una y otra vez sobre sí mismo el espacio de fases, dando lugar a veces a una estructura hojaldrada, en capas, y expresa la continuidad de las fuerzas que producen la dinámica. Los atractores extraños con estructura de fractal que son ejemplos de caos determinista obedecen a dos constricciones: la divergencia de las trayectorias y su confinamiento en un espacio determinado donde dichas trayectorias se reagrupan constantemente sin cortarse; la sensibilidad a las condiciones iniciales son las responsables del estiramiento del fractal y al confinamiento espacial responde el plegado del mismo. Estas dos condiciones sólo se pueden cumplir en espacios de al menos tres dimensiones. Orden y caos establecen entre sí un juego complejo más que una simple oposición. El caos surge del orden y un cierto orden puede surgir del caos cuando se dan una serie de circunstancias que analizaremos a continuación. Se puede hablar, por tanto, de un borde del caos ya que el mismo surge cuando la complejidad de un sistema (medida por su capacidad computacional, es decir, su capacidad para almacenar y procesar información) alcanza un máximo, cosa que sucede en una estrecha zona que separa estados altamente ordenados de estados completamente caóticos. Del orden se puede pasar al caos (en sistemas no lineales de al menos tres variables) a través de tres caminos principales que suponen los tres la desestabilización de regímenes periódicos por perturbaciones que en lugar de amortiguarse y desaparecer se amplifican: por duplicación de período, por intermitencias, o por la cuasi-periodicidad.