Inferencia estadística sobre θ= P(X < Y), Caso exponencial

Abstract

El problema de hacer inferencia estadística sobre el parámetro θ=P (X < Y) ha sido de gran interés desde sus inicios (Birnbaum, 1956) hasta los tiempos actuales (Díaz-Francés y Montoya, 2013; Al-Mutairiet al., 2013; Gunasekera, 2014). En todo este periodo, se han planteado diversas suposiciones sobre la distribución de probabilidad de (X, Y) y se han utilizado diferentes enfoques estadísticos para proporcionar soluciones al problema. En particular, el problema de hacer estimación por intervalos sobre el parámetro θ, cuando se supone que X y Y son variables aleatorias independientes con función de densidad de probabilidad exponencial bajo situaciones de datos sin censura o con censura, ha recibido gran atención por muchos investigadores, siendo la estimación insesgada de mínima varianza, máxima verosimilitud, cantidades pivotales y bootstrap, los enfoques más usados para solucionar este problema. Recientemente, el problema de hacer estimación por intervalos sobre θ=P (X < Y) en el caso exponencial ha sido abordado con un enfoque diferente a los mencionados anteriormente. Díaz-Francés y Montoya (2013) presentan un método para construir intervalos de verosimilitud-confianza para θ a través de la técnica de aproximación normal a la verosimilitud; pero usando previamente una reparametrización que simetriza a la verosimilitud. Es importante mencionar aquí que la estimación que produce este método no ha sido comparada en forma amplia con la de otros métodos estadísticos, especialmente en casos con censura. El objetivo de esta tesis es comparar los intervalos de verosimilitud-confianza para θ=P (X < Y), presentados en Díaz-Francés y Montoya (2013), con intervalos pivotales, en términos de frecuencia de cobertura y longitud del intervalo, bajo tres tipos de muestra: sin censura, con censura por la derecha de Tipo II y con censura progresiva de Tipo II. A continuación, se describen los aspectos más importantes de cada capítulo. En el Capítulo 1 se presenta la descripción del parámetro θ=P (X < Y) y se enfatiza su importancia a través de la relación que tiene con los modelos Tensión-Fuerza y las curvas ROC. Estas herramientas matemáticas han sido ampliamente usadas en diversas aplicaciones de ingeniería, medicina, entre otras. Además, se describe el problema que se abordar ́a en esta tesis. En el Capítulo 2 se definen conceptos importantes del enfoque de verosimilitud para la estimación de parámetros. En particular, se presenta con detalle el método de verosimilitud perfil y la metodología de estimación por intervalos bajo el uso de la aproximación normal a la verosimilitud y reparamentrizaciones que simetrizan a la verosimilitud. En este capítulo también se presenta el método pivotal para estimación por intervalos. En el Capítulo 3 se aplican los conceptos y metodologías definidas en el Capítulo 2 para hacer inferencias sobre el parámetro θ=P (X < Y) en el caso exponencial, bajo tres esquemas: sin censura, con censura por la derecha de Tipo II y con censura progresiva de Tipo II. Para cada caso se utilizan los siguientes métodos: (1) La verosimilitud perfil, (2) Una reparametrización de la verosimilitud junto con el enfoque de aproximación normal a la verosimilitud y (3) Estimación a través de una cantidad pivotal. Además, se presentan dos aplicaciones relevantes de estos métodos y sus correspondientes inferencias sobre θ=P (X < Y). Es importante mencionar que el enfoque de verosimilitud perfil, aunque es ilustrado en este capítulo, no será considerado para el estudio comparativo de inferencias desarrollado más adelante. En el Capítulo 4 se hace un estudio de simulación, considerando los escenarios de muestras sin censura, muestras con censura por la derecha de Tipo II y con censura progresiva de Tipo II, con el objetivo de comparar el comportamiento de los intervalos de confianza propuestos por Díaz-Francés y Montoya (2013) y los intervalos de confianza pivotales. Dicha comparación se hace en términos de frecuencia de cobertura y longitud del intervalo. Por último, en el Capítulo 5 se presentan las conclusiones generales de este trabajo.