Movimiento clásico de una partícula cargada en el campo de un dipolo puntual

Abstract

El propósito de este trabajo es estudiar el movimiento clásico de una partícula cargada en el campo de un dipolo puntual, resaltando la importancia de las constantes de movimiento de este sistema. Además de las dos constantes de movimiento conocidas, la energía total y la componente del momento angular a lo largo del dipolo, se obtiene otra constante de movimiento β; ésta representa una herramienta adicional que permite estudiar las propiedades básicas del movimiento5. En el primer capítulo se presenta en forma detallada el trabajo de K. Fox(¹). El movimiento se analiza mediante las ecuaciones de Lagrange de la partícula y el teorema de conservación de la energía. Se muestra que el único caso en el que la partícula no se aleja indefinidamente del dipolo o bien cae a éste es aquel en el que la distancia r de la partícula al dipolo es constante y la energía es cero. Además, se concluye que un valor mínimo del momento dipolar es condición necesaria para los movimientos con r constante cuando las condiciones iniciales están dadas. En el segundo capítulo se aborda el problema con la formulación Newtoniana de la Mecánica Clásica. Mediante una derivación simple se obtiene la constante de movimiento β y se establece una relación entre ésta y la energía total. Se obtiene una clasificación de las trayectorias, reproduciendo los resultados obtenidos por Fox y agregando otros. En el caso particular de las trayectorias en las cuales la partícula se mueve permaneciendo a una distancia fija del dipolo, se establece la equivalencia mecánica con el péndulo esférico y con el trompo simétrico con precesión monótona. Con base en la clasificación de las trayectorias, éstas se obtienen en los casos más importantes mediante la solución numérica de las ecuaciones de movimiento. En el tercer capítulo, el movimiento de la partícula se estudia mediante la formulación de Hamilton-Jacobi de la Mecánica Clásica. La ecuación de Hamilton-Jacobi de la partícula se resuelve con el método de separación de variables. La integral completa que se obtiene contiene a las tres constantes de movimiento. Como consecuencia de la separación de variables de la ecuación de Hamilton-Jacobi, el espacio fase de seis dimensiones se desdobla en tres subespacios de dos dimensiones, de modo que el estudio del movimiento se realiza mediante el análisis de las órbitas en estos subespacios, considerando los valores posibles de las constantes de movimiento.