Oscilador armónico en segunda cuantización

Abstract

En mecánica cuántica se estudian problemas en donde se encuentran soluciones a la ecuación de Schrödinger para encontrar funciones propias que contienen información relevante del sistema, como es la energía y la posición de la particula [sic]. Los valores de la energía son llamados “valores propios” y cuando el espectro de energía es discreto se dice que la energía esta cuantizada; a este formalismo se le conoce como “Primera Cuantización”. Esto es válido cuando tenemos problemas de una sola partícula tales como el oscilador armónico simple, una partícula confinada en un pozo de potencial infinito, etc. Ahora, es también importante e interesante estudiar sistemas de muchas partículas idénticas, un campo de partículas con presencia de interacciones arbitrarias, etc. Para abordar este tipo de sistemas resulta conveniente considerar a la función de onda como un operador, el cual nos permita conocer cuántas partículas hay en un estado determinado, así como su energía. A este formalismo se le conoce como “Segunda Cuantización”. En el primer capítulo de este trabajo se hace una revisión breve del oscilador armónico cuántico, donde se expresa el hamiltoniano en función de operadores, que son llamados operadores de creación y aniquilación. Se presentan las propiedades y la forma de actuar sobre los estados cuánticos de un sistema. Ya que hemos recordado estos operadores, en el segundo capítulo estudiamos lo que es la segunda cuantización en la mecánica cuántica, donde se parte de la formulación lagrangiana clásica, después se pasa a la formulación lagrangiana para campos, donde se consideran campos fermiónicos y campos bosónicos, para posteriormente hacer la cuantización de estos campos. Para concluir este capítulo se presenta un ejemplo de cómo se puede utilizar la teoría de segunda cuantización para estudiar una línea elástica donde escribimos el hamiltoniano del sistema en función de operadores. En el tercer capítulo se presenta un sistema de dos osciladores acoplados, introduciéndose la definición de dos operadores interesantes, el operador de desplazamiento y el operador de compresión. Se estudian luego dos casos específicos, el primero es un sistema optomecánico con acoplamiento lineal y el segundo es un sistema optomecánico con acoplamiento cuadrático. Finalmente se incluyen las conclusiones de este trabajo.