Una introducción a la teoría de martingalas

Abstract

Indudablemente, la probabilidad es una de las ramas de la matemática que ha jugado un papel fundamental en la solución de problemas específicos que se presentan en otras áreas del conocimiento. Esto se debe a que muchos de estos problemas se pueden modelar mediante una familia de variables aleatorias parametrizadas por el tiempo, como por ejemplo, sistemas dinámicos en los que intervienen elementos aleatorios los cuales representan cierta incertidumbre que influye en el compartimiento del sistema, problemas de decisiones secuenciales, dentro de los cuales se encuentran los juegos de apuestas sucesivas, entre otros. A dicha familia de variables aleatorias se les conoce como procesos estocásticos. Existen muchos tipos de procesos estocásticos cuya clasificación se tiene en base a sus propiedades particulares. Por ejemplo, procesos estacionarios, con incrementos independientes, de Markov, martingalas, etc., aunque esta clasificación no los hace excluyentes. La teoría desarrollada para cada uno de estos procesos es muy amplia y podríamos decir que independientes una de la otra. De los temas más estudiados en los cursos de procesos estocásticos nivel licenciatura son las cadenas de Markov. Quizá esto se debe a que sus propiedades basadas en la definición de probabilidad condicional, son muy intuitivas y tienen aplicaciones directas y muy sencillas. Por el contrario, las martingalas, cuyas propiedades se enfocan en la definición de esperanza condicional, es un tema que por lo general se excluye de los cursos, aun siendo igual de importantes que las cadenas de Markov. Esto constituye la motivación principal para desarrollar este trabajo.