El conjunto de Cantor y algunas de sus propiedades

Abstract

El objetivo de este trabajo es presentar algunas de las propiedades más relevantes y conocidas del conjunto de Cantor. Mi interés por este conjunto tan fascinante se originó a través de los cursos de análisis de la licenciatura en matemáticas, en los cuales se presenta como una fuente muy rica en contraejemplos para conceptos propios de esos cursos. Por otra parte, es difícil encontrar en la literatura una fuente en la que se aborden y discutan las propiedades tan interesantes que posee el conjunto de Cantor, de una manera unificada y accesible para un estudiante de matemáticas. Así, con este trabajo se pretende dar un paso en esa dirección y, al mismo tiempo, esperamos que pueda servir de apoyo para los cursos de análisis matemático y de topología en la licenciatura en matemáticas. Generalmente, cuando uno se encuentra por primera vez con el conjunto de Cantor, algunas de sus propiedades pueden parecer bastante sorprendentes. Por ejemplo, en un conjunto de medida de Lesbegue cero, no-numerable; también es perfecto, denso en ninguna parte y totalmente disconexo. Estos resultados son, por sí mismo muy interesantes, pero resultan de mayor interés si uno trata usar esos conceptos para tratar de “medir” conjuntos. Por ejemplo, podemos preguntarnos cuando un determinado conjunto es “grande” o “pequeño” en base a si satisface o no alguna de propiedades anteriores.