Mapeos de Whitney en teoría de hiperespacio de continuos.

Abstract

El objetivo principal de este trabajo. es presentar las funciones de Whitney dentro de la Teoría de Continuos, probar que dichas funciones existen y además, dar algunas aplicaciones dentro de esta teoría. Un espacio topológico es conexo, si no existen subconjuntos abiertos. no vacíos y ajenos, tales que su unión sea todo el espacio. Un espacio topológico es compacto, si para cada cubierta abierta del espacio se tiene una subcu¬bierta finita. Estas definiciones y otros resultados acerca ele las propiedades topológicas de conexidad y compacidad se presentan en el capítulo uno. Como parte del primer capítulo también mencionamos que dos espa¬cios topológicos son equivalentes si podemos definir una función entre ellos que sea continua, biyectiva y que su inversa también sea continua. También damos la definición de espacios normales y, algunas propiedades en los es¬pacios topológicos que impliquen la normalidad del espacio. Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y no degenerado. En el segundo capítulo mostramos algunos ejemplos de continuos, el más sencillo de todos es el intervalo [0,1]. A parte de dar ejemplos. también vemos la manera ele construir continuos nuevos, a partir de los que conocemos. La construcción de nuevos continuos la podemos realizar uniendo continuos, cuya intersección sea no vacía, para que el resultado sea conexo y cuidando que sea compacto. Otro camino para construir continuos es mediante las intersecciones anidadas de continuos. En este mismo capítulo damos la definición de continuos encadenables, continuos irreducibles y los continuos descomponibles e indescomponibles. Probamos un resultado que caracteriza a los continuos indescomponibles y otro que permite construirlos. A cada continuo X, le podemos asociar familias de subconjuntos que cumplen con alguna característica en especial. Esta familia son los llamados hiperespacios del continuo. En el tercer capítulo se da una métrica para los hiperespacios, la llamada métrica de Hausdorff. Después los hiperespacios son espacios también son continuos. Por lo tanto, los hiperespacios también son continuos. Tenemos que los hiperespacios son familias de subconjuntos con alguna característica opcional. Entonces se crean modelos de hiperespacios es decir se crea un espacio homeomorfo al hiperespacio con la condición de que en lugar de familia de subconjuntos sean conjuntos de puntos los elementos con los que se trabaje. Es justo ahí donde radica el beneficio de crear modelos de hiperespacios. En el capítulo cuatro damos Ia definición de las funciones de Whitney para el hiperespacio 2x que se define como los subconjuntos del continuo X que son cerrados y no vacíos. Mostramos que las funciones de Whitney existen para cualquier continuo X. Y finalmente damos algunas aplicaciones dentro de la Teoría de Continuos. Esperamos que este material, otorgue al lector una idea de lo que se estudia en la Teoría de Continuos y sea ele ayuda en sus inquietudes.