Descripción de la métrica de Kerr y órbitas en el plano ecuatorial

Abstract

La Teoría de la Relatividad ha llevado a la descripción y predicción de fenómenos que no se puede lograr con una teoría clásica, así ésta forma parte de la Física Moderna. Sin embargo, aún continua siendo cuestionada y probada en un alto rango de precisión. Existen diversas soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein, la primera solución fué presentada por Karl Schwarzschild en 1915 considerando la geometría del espaciotiempo fuera de una distribución de masa esférica sin carga ni rotación. Esta solución permitió explicar la precesión del perihelio en la órbita de Mercurio [9, 10]. También permitió en los treintas a Oppenheimer y Snyder dar las ideas básicas sobre el final de una estrella según su cantidad de masa. Estas ideas fueron recalculadas con más detalle veinticinco años después por Stirling Colgate, Richard White y Michael May concluyendo resultados similares [8]. Uno de los posibles finales es que cuando la masa de la estrella es varias veces la masa solar, ésta colapsa y entonces crea un agujero negro. En la actualidad existen varios candidatos a ser agujeros negros en nuestra galaxia, pues estos sistemas cuentan con una masa estimada de más de tres masas solares (Límite Oppenheimer Volkoff.)[3, 9, 10], y si bien, la deformación del espaciotiempo es descrita con precisión al considerarlos como agujeros negros, se espera que futuras pruebas puedan medir otras características de los sistemas que derminarán si son agujeros negros, por ejemplo la observación de discos de acresión[18]. A pesar de que la solución de Schwarzschild ha tenido éxito en el desarrollo de predicciones teóricas y mejora de la tecnología, en 1963 Roy Kerr dió un paso más hacia la descripción real de objetos astrofísicos al encontrar una solución más general a las ecuaciones de campo de Einstein, en ésta obtiene la geometría del espaciotiempo fuera de una distribución de masa sin carga y con rotación sobre alguno de sus ejes. Uno de los puntos principales de esta solución es que en el límite de cero rotación corresponde a la solución de Schwarzschild. A la mayoría de los objetos astrofísicos encontrados se les atribuye una rotación sobre alguno de sus ejes y aunque sea mínima ésta puede ser descrita por la solución de Kerr. En el año 2011 se concluyó el proyecto Gravity Probe B en el cual se midió el arrastre de marcos de referencia inerciales en una órbita alrededor de la Tierra, éste es uno de los fenómenos predichos por la solución de Kerr y los resultados están dentro del rango de precisión esperada según la relatividad[15]. Por estas razones, la difusión y estudio de la solución de Kerr es importante para un mayor grado en la comprensión de fenómenos que ocurren dentro del universo. A través del trabajo se encuentra la lagrangiana y las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange, también se prueba que estas ecuaciones corresponden a la ecuación geodésica y que la ausencia de una coordenada implica la conservación de su componente asociada del cuadrimomento. Por medio de la dinámica en el espaciotiempo se intenta mostrar la importancia de la métrica como solución a las ecuaciones de Einstein en el vacío, entonces calculamos dos ejemplos en la métrica de Schwarzschild y emigramos a la solución de Roy Kerr. Aunque la tesis está dirigida a la métrica de Kerr, no se desarrollan los cálculos para obtenerla, pues si bien podrían caber dentro de nuestro interés, también podrían ser un trabajo por sí solo, tal como es el caso de[17], sin embargo en la introducción al capítulo dos se describe el método clásico para encontrarla. En el Capítulo 2. Hacemos una descripción de las características relevantes en la métrica de Kerr; singularidad, horizontes de eventos y la producción de una región en el espacio tiempo llamada ergorregión debida al elemento fuera de la diagonal en la métrica. Entonces nos limitamos al movimiento en el plano ecuatorial y encontramos las ecuaciones de movimiento de t, r y. De la ecuación para r definimos un potencial efectivo y resaltamos que a diferencia del que se encuentra en la métrica de Schwarzchild éste depende de la energía de la partícula en estudio y es sensible al sentido de su momento angular. Finalmente en el Capítulo 3. Encontramos la solución numérica a las ecuaciones de movimiento para r y . Primero en una sola ecuación, la ecuación de órbita dr/d = f (t; r; ; h; k;a), y después como un sistema de ecuaciones para valores negativos del momento angular de una partícula material. Estas soluciones son comparadas con las presentes en la bibliografía con la intención de corroborar el desarrollo teórico realizado en el trabajo.